Задача 7551На рисунке изображен график y=f '(x) — производной функции f(x), определенной на интервале (-8; 3). В какой точке отрезка [-3; 2 ] f(x) принимает наибольшее значение?
Решение:
Нам дан график производной. А вопрос в задаче задан о наибольшем значении функции.
Вспомним, что мы можем узнать о функции по её производной:
1) Если производная положительна на каком-то промежутке, то на этом промежутке функция возрастает.
2) Если производная отрицательна на каком-то промежутке, то на этом промежутке функция убывает.
3) Если производная равна нулю в точке, то в этой точке подозреваем экстремум (минимум или максимум функции).
Если слева от подозреваемого экстремума производная положительна (т.е. функция возрастает), а справа отрицательна (т.е. функция убывает), то в точке будет максимум.
Если наоборот, слева производная отрицательна (функция убывает), а справа положительна (функция возрастает), то в точке минимум.
Если знаки производной (а, значит, и возрастание/убывание функции) одинаковы слева и справа от точки, то в этой точке экстремума (ни минимума, ни максимума) нет.
Исследуем знаки производной и соответствующее им поведение функции по данному нам графику производной.
До точки -3 производная положительна. Значит, в этой области функция возрастает.
Справа от точки -3 производная отрицательна. Значит, функция в этой области убывает.
В точке -3 производная равна нулю. И, так как мы уже посмотрели, что слева функция возрастает, а справа убывает, значит -3 - точка максимума.
Других точек экстремума у функции нет.
Нам нужно найти наибольшее значение функции на отрезке [-3; 2]. Так как производная на всём этом отрезке отрицательна, то функция на всём отрезке убывает. "Убывает" значит чем больше x, тем меньше y. Поэтому наибольшее значение функция будет принимать в самом левом краю интервала - в точке -3. (Это наглядно видно на картинке. (В верхней части, на фрагменте, иллюстрирующем убывание функции))
Ответ: -3
Задача 7599
На рисунке изображен график y=f '(x) — производной функции f(x), определенной на интервале (-1; 10). В какой точке отрезка [5; 9 ] f(x) принимает наибольшее значение?
Решение:
Обращаем внимание, что на всём отрезке [5; 9] производная, данная нам на графике, положительна.
Если производная положительна, то соответствующая ей функция на всём этом отрезке возрастает.
Возрастает, значит чем больше x, тем больше y. (Здесь для наглядности можно нарисовать схематическую стрелку, показывающую в направлении возрастания при движении слева направо:
)
Значит, на отрезке [5; 9] наибольшее значение будет достигаться в крайнем правом конце отрезка. То есть, в точке x = 9.
Ответ: 9
Задача 7619
На рисунке изображен график y=f '(x) — производной функции f(x), определенной на интервале (-2; 10). В какой точке отрезка [-1; 3 ] f(x) принимает наибольшее значение?
Решение:
На всём отрезке [-1; 3], за исключением крайней точки 3, данная на графике производная отрицательна. Значит, на всём этом отрезке до точки 3 функция убывает.
На схеме видно, что из убывания функции следует, что наибольшего значения она достигает в самой левой точке отрезка. То есть, в точке -1.
Ответ: -1
