Задача 99627Решите уравнение
Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.
Решение:
Такие короткие уравнения, содержащие только по одной дроби в правой и левой частях уравнения, проще всего решать по свойству пропорции. Произведение средних членов пропорции равно произведению крайних, крест-накрест.
Вспомним, что целое число при желании всегда можно представить в виде дроби со знаменателем 1. (2=2/1, 3=3/1, 67=67/1).
В нашем случае, 1 = 1/1.
Теперь по свойству пропорции, крест-накрест, произведение числителя первой дроби на знаменатель второй равно произведению знаменателя первой дроби на числитель второй:
11 * 1 = (x2 + 7) * 1
Получили неполное квадратное уравнение.
11 = x2 + 7
11 - 7 = x2
x2 = 4
x = 2 или x = -2
(То же квадратное уравнение можно было получить без использования пропорции. Рассуждая по смыслу уравнения: на что нужно разделить 11, чтобы получить 1? - на 11. Значит, x2 + 7 = 11.)
На этом этапе решения мы нашли два решения квадратного уравнения. Здесь важно понимать, что так как в исходном уравнении была дробь, содержащая неизвестную в знаменателе, то в уравнении в общем случае нужно учитывать ОДЗ (область допустимых значений). В знаменателе никогда не должен получаться 0.
Можно подставить найденные значения 2 и -2 в знаменатель и проверить, что при этих значениях в знаменателе не получается нуля:
(2)2 + 7 = 11 (не нуль)
(-2)2 + 7 = 11 (не нуль)
Значит, оба найденных нами решения удовлетворяют ОДЗ. То есть, оба являются решениями исходного уравнения.
В задаче просили записать в ответ меньший корень, значит, -2.
Можно было заметить, что так как оба корня являются решениями уравнения
11 = x2 + 7, то явно ни при одном из них знаменатель (x2 + 7) не будет равен нулю, так как он уже точно равен 11.
Но лучше лишний раз проверить ОДЗ, чем забыть его проверить и записать неверный ответ. Во всех уравнениях, содержащих неизвестную в знаменателе, существование ОДЗ надо иметь в виду!
Ответ: -2
